Riešené príklady > Termika

290. Koleso rušňa má pri teplote \( 0\,^\circ\mathrm{C} \) polomer \( r_0 = 1\,\mathrm{m} \). Aký je rozdiel v počte otočení kolesa na dráhe \( l = 100\,\mathrm{km} \) v lete pri teplote \( t_1 = 25\,^\circ\mathrm{C} \) a v zime pri teplote \( t_2 = -25\,^\circ\mathrm{C} \), keď súčiniteľ dĺžkovej rozťažnosti materiálu kolesa je \( \alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}} \)?

\( r_0 = 1\,\mathrm{m},\quad l = 100\,\mathrm{km} = 100\,000\,\mathrm{m} \)

\( t_0 = 0\,^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_0 = 273{,}15\,\mathrm{K} \)

\( t_1 = 25\,^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_1 = 298{,}15\,\mathrm{K},\quad t_2 = -25\,^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_2 = 248{,}15\,\mathrm{K} \)

\( \alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}} \)

\( \Delta n = \,? \)

Koleso má pri teplote \( t_0 = 0\,^\circ\mathrm{C} \) polomer \( r_0 = 1\,\mathrm{m} \). Po zohriatí na teplotu \( t_1 = 25\,^\circ\mathrm{C} \) sa vplyvom rozťažnosti kovu polomer kolesa zväčší na \( r_1 \):

\[
r_1 = r_0 (1 + \alpha \Delta t_1) \tag{1}
\]

\[
r_1 = r_0 (1 + \alpha (t_1 - t_0))
\]

\[
r_1 = 1\,\mathrm{m} \cdot (1 + 12 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}} \cdot (298{,}15\,\mathrm{K} - 273{,}15\,\mathrm{K})) = 1{,}0003\,\mathrm{m}
\]

Pri teplote \( t_2 = -25\,^\circ\mathrm{C} \) sa polomer kolesa zmenší na \( r_2 \):

\[
r_2 = r_0 (1 + \alpha \Delta t_2) \tag{2}
\]

\[
r_2 = r_0 (1 + \alpha (t_2 - t_0))
\]

\[
r_2 = 1\,\mathrm{m} \cdot (1 + 12 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}} \cdot (248{,}15\,\mathrm{K} - 273{,}15\,\mathrm{K})) = 0{,}9997\,\mathrm{m}
\]

Pre počet otočení kolesa \( n \) na dráhe \( l \) platí:

\[
n = \frac{l}{o} \tag{3}
\]

kde \( o \) je obvod kolesa. Pre obvod kolesa \( o_1 \) v lete pri teplote \( t_1 = 25\,^\circ\mathrm{C} \)
a \( o_2 \) v zime pri teplote \( t_2 = -25\,^\circ\mathrm{C} \) dostaneme:

\[
o_1 = 2\pi r_1 = 6{,}28507\,\mathrm{m} \tag{4}
\]

\[
o_2 = 2\pi r_2 = 6{,}2813\,\mathrm{m} \tag{5}
\]

Pre počty otočení kolies \( n_1 \) v lete a \( n_2 \) v zime platí:

\[
n_1 = \frac{l}{o_1} = \frac{100\,000\,\mathrm{m}}{6{,}28507\,\mathrm{m}} = 15\,910{,}7217\,\text{otočení}
\]

\[
n_2 = \frac{l}{o_2} = \frac{100\,000\,\mathrm{m}}{6{,}2813\,\mathrm{m}} = 15\,920{,}2703\,\text{otočení}
\]

Rozdiel \( \Delta n \) v počte otočení v lete a v zime je:

\[
\Delta n = n_2 - n_1 = 9{,}548\,\text{otočení}
\]

Rozdiel v počte otočení kolesa na dráhe \( l = 100\,\mathrm{km} \) v lete pri teplote \( t_1 = 25\,^\circ\mathrm{C} \)
a v zime pri teplote \( t_2 = -25\,^\circ\mathrm{C} \) je \( \Delta n = 9{,}548 \) otočení.