Riešené príklady > Kmity

254. Horizontálna doska koná harmonický pohyb vo vodorovnom smere s periódou \( T = 5\ \mathrm{s} \).
Teleso, ktoré leží na doske, sa začína kĺzať, keď amplitúda kmitov dosiahne hodnotu \( x_0 = 0{,}5\ \mathrm{m} \).
Aký je koeficient trenia medzi závažím a doskou?

\( T = 5\ \mathrm{s} \)

\( x_0 = 0{,}5\ \mathrm{m} \)

\( \mu =\ ? \)

Pohybová rovnica telesa s hmotnosťou \( m \), ktoré vykonáva jednoduchý netlmený harmonický pohyb po priamke, má tvar:

\[ F = -kx \tag{1} \]

kde \( x \) je výchylka telesa z rovnovážnej polohy a \( k \) je konštanta charakterizujúca vlastnosti dosky nútiacej teleso konať harmonický pohyb. Závislosť výchylky \( x \) telesa od času \( t \) dostaneme riešením pohybovej rovnice (1). Riešenie má tvar:

\[ x = x_0 \cos(\omega t + \alpha) \tag{2} \]

kde

\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \tag{3} \]

je uhlová frekvencia vlastného kmitania, \( x_0 \) je amplitúda, \( \alpha \) je fázová konštanta pohybu. Výraz \( \omega t + \alpha \) nazývame fázou pohybu. Teleso sa bude po doske kĺzať, keď zotrvačná sila naň pôsobiaca bude väčšia, alebo nanajvýš rovná trecej sile:

\[ |F_z| \geq |F_t| \tag{4} \]

Pre zotrvačnú silu pôsobiacu na teleso platí:

\[ F_z = -ma, \quad \text{čiže} \quad F_z = -F = kx \]

Maximálna zotrvačná sila pôsobí na teleso pri jeho maximálnej výchylke, t. j. v krajných polohách dosky. Kritický prípad pre teleso na doske nastane, keď

\[ |F_{z,\text{max}}| = |F_t| \]

\[ kx_0 = F_n \mu \]

kde \( F_n \) je normálová sila – sila kolmá na dosku, v našom prípade tiažová sila \( F_g \). Platí:

\[ F_t = mg\mu \]

Pre hľadaný koeficient trenia medzi doskou a telesom platí:

\[ kx_0 = mg\mu \]

\[ \mu = \frac{kx_0}{mg} \]

\[ \mu = \frac{\omega^2 x_0}{g} \]

\[ \mu = \frac{4\pi^2 x_0}{T^2 g} \]

Dosadením zadaných hodnôt a konštánt dostaneme:

\[ \mu = \frac{4 \cdot 3{,}142^2 \cdot 0{,}5\ \mathrm{m}}{(5\ \mathrm{s})^2 \cdot 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}} \]

\[ \mu = 0{,}08 \]

Koeficient trenia medzi doskou a závažím je \( 0{,}08 \).