Pri pohybe po kružnici možno zrýchlenie hmotného bodu rozložiť na zložku tangenciálnu (dotyčnicovú) a_t a zložku normálovú (dostredivú) a_n, pričom platí:

$$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n = \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + \frac{v^2}{R}\vec{\rho} \tag{1}$$

kde τ je jednotkový vektor v smere dotyčnice a ρ je jednotkový vektor smerujúci do stredu kružnice. Pre tangenciálne zrýchlenie a_t môžeme písať:

$$a_t = R \varepsilon \tag{2}$$

a pre normálové zrýchlenie a_n:

$$a_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R \tag{3}$$

Pre veľkosť celkového zrýchlenia teda platí:

$$|a| = (a_t^2 + a_n^2)^{1/2} = (R^2 \varepsilon^2 + \frac{v^4}{R^2})^{1/2} \tag{4}$$

Uhlová rýchlosť ω a uhlové zrýchlenie ε pohybujúceho sa bodu sú definované vzťahmi:

$$\omega = \frac{d\alpha}{dt} \tag{5}$$ $$\varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\alpha}{dt^2} \tag{6}$$

kde α predstavuje vektor, ktorého hodnota je daná veľkosťou uhla opísaného polohovým vektorom pohybujúceho sa bodu. Súvis uhlovej rýchlosti ω s obvodovou rýchlosťou v pohybujúceho sa bodu po kružnici vyjadruje vzťah:

$$v = \omega \times R \tag{7}$$

kde R je polomer kružnice. Keďže sa hmotný bod pohybuje po kružnici s konštantným uhlovým zrýchlením ε, pre uhlovú rýchlosť ω platí:

$$\omega = \int \varepsilon \, dt = \varepsilon t + \omega_0 \tag{8}$$

Keďže je uhlová rýchlosť na začiatku nulová (ω₀ = 0 rad.s^-1), pre uhlovú rýchlosť ω v ľubovoľnom čase t možeme písať:

$$\omega = \varepsilon t \tag{9}$$

Po dosadení konkrétnych hodnôt dostávame pre uhlovú rýchlosť ω:

$$\omega = 2 \, \text{s}^{-2} \cdot 4 \, \text{s}$$ $$\omega = 8 \, \text{s}^{-1}$$

Túto hodnotu uhlovej rýchlosti ω použijeme vo vzťahu (7) na výpočet veľkosti rýchlosti pohybu hmotného bodu po kružnici v. Keďže ω je kolmá na R, môžeme písať:

$$v = \omega R$$ $$v = 8 \, \text{s}^{-1} \cdot 20 \, \text{cm}$$ $$v = 160 \, \text{cm} \cdot \text{s}^{-1}$$

Získané hodnoty dosadíme do vzťahov (2), (3) a (4) pre výpočet veľkostí tangenciálneho a_t, normálového a_n a celkového zrýchlenia a:

$$a_t = 20 \, \text{cm} \cdot 2 \, \text{s}^{-2}$$ $$\mathbf{a_t = 40 \, \text{cm} \cdot \text{s}^{-2}}$$ $$a_n = \frac{(160 \, \text{cm} \cdot \text{s}^{-1})^2}{20 \, \text{cm}}$$ $$\mathbf{a_n = 1280 \, \text{cm} \cdot \text{s}^{-2}}$$ $$a = [(40 \, \text{cm} \cdot \text{s}^{-2})^2 + (1280 \, \text{cm} \cdot \text{s}^{-2})^2]^{1/2}$$ $$\mathbf{a = 1280{,}6 \, \text{cm} \cdot \text{s}^{-2}}$$

Hodnota tangenciálneho zrýchlenia v čase 4 s je 40 cm.s^-2.
Hodnota normálového zrýchlenia v čase 4 s je 1280 cm.s^-2.
Hodnota celkového zrýchlenia v čase 4 s je 1280,6 cm.s^-2.

---

Výpočet s alternatívnou hodnotou

Polomer R (cm):

Uhlové zrýchlenie ε (s⁻²):

Čas t (s):

Vypočítať

Výsledky: