Riešené príklady > Kinematika

42. Elektrický rušeň sa rozbieha z pokoja so zrýchlením, ktoré rovnomerne rastie, a to tak, že v čase \(t_1 = 100 s\) má zrýchlenie hodnotu \(a_1 = 0,5 m.s^{-2}\). Vypočítajte rýchlosť rušňa v čase \(t_1\), ako aj dráhu, ktorú rušeň za ten čas prešiel!

\[
\begin{aligned}
t_1 &= 100\,\text{s} \\
a_1 &= 0.5\,\text{m.s}^{-2} \\
v_1 &= ? \\
s_1 &= ?
\end{aligned}
\]

Pretože sa rušeň rozbieha z pokoja s nekonštantným zrýchlením, ktoré s časom rovnomerne rastie, platí pre toto zrýchlenie vzťah:

\[ a = kt \tag{1} \]

Pre rýchlosť, ktorou sa teleso pohybuje a dráhu, ktorú pri tomto pohybe teleso prejde, platia nasledovné rovnice:

\[ v = \int a(t)\,dt = \int kt\,dt = \frac{1}{2}kt^2 + v_0 \tag{2} \]

\[ s = \int v\,dt = \int \left(\frac{1}{2}kt^2 + v_0\right) dt \tag{3} \]

\[ s = \frac{1}{6}kt^3 + v_0t + s_0 \tag{4} \]

Keďže rušeň sa rozbieha z pokoja, jeho počiatočná rýchlosť je nulová (\( v_0(0) = 0\,\text{m.s}^{-1} \)) a prejdená dráha v čase \( t = 0\,\text{s} \) je \( s_0(0) = 0\,\text{m} \). Z rovnice (1) si vyjadríme pomocou zadaných hodnôt \( a_1 \) a \( t_1 \) koeficient \( k \) a ten potom jednoducho dosadíme do rovníc (2), (4):

\[ k = \frac{a_1}{t_1} \]

\[ v_1 = \frac{1}{2}a_1t_1 \]

\[ v_1 = \frac{1}{2} \cdot 0,5\,\text{m.s}^{-2} \cdot (100\,\text{s}) \]

\[ v_1 = \underline{25\,\text{m.s}^{-1}} \]

\[ s_1 = \frac{1}{6}a_1t_1^2 \]

\[ s_1 = \frac{1}{6} \cdot 0,5\,\text{m.s}^{-2} \cdot (100\,\text{s})^2 \]

\[ s_1 = \underline{833,3\,\text{m}} \]

V čase \( t_1 = 100\,\text{s} \) dosiahne rušeň rýchlosť \( 25\,\text{m.s}^{-1} \). Za daný čas prešiel dráhu \( 833,3\,\text{m} \).