Riešené príklady > Gravitačné pole

91. Teleso bolo vrhnuté zo zemského povrchu zvisle nahor rýchlosťou \(v_0\). Do akej výšky vystúpi a aká by musela byť minimálna začiatočná rýchlosť \(v_k\), aby teleso nespadlo späť na Zem? (Odpor vzduchu zanedbajte!)

\(v_0\)
\(h = \, ?\)
\(v_k = \, ?\)

Na vyriešenie tohto príkladu použijeme zákon o zachovaní mechanickej energie. Celková energia telesa v mieste vrhu je daná kinetickou energiou telesa. V maximálnej výške \(h\), ktorú teleso dosiahne, je zase celková energia daná potenciálnou energiou telesa. Ak uvažujeme potenciálnu energiu telesa vzhľadom na zemský povrch, môžeme písať:

\[ E_k = E_p \tag{1} \] \[ \frac{1}{2} m v_0^2 = -k m M \left( \frac{1}{R + h} - \frac{1}{R} \right) \] \[ \frac{1}{2} m v_0^2 = -k m M \cdot \left( \frac{-h}{(R + h) R} \right) \]

kde \(m\) je hmotnosť telesa, \(v_0\) je rýchlosť telesa, \(M\) je hmotnosť Zeme, \(R\) je polomer Zeme, \(h\) je výška, do ktorej teleso vystúpi, a \(k\) je gravitačná konštanta.

Keďže s istou presnosťou môžeme písať:

\[ g = \frac{k M}{R^2} \tag{2} \]

potom využitím tohto vzťahu dostaneme:

\[ \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{m g R h}{R + h} \]

Odtiaľ pre hľadané \(h\) vyplýva:

\[ h = \frac{v_0^2 R}{2 g R - v_0^2} \]

Aby sa teleso nevrátilo späť na Zem, muselo by pri počiatočnej rýchlosti \(v_k\) dosiahnuť nekonečnú výšku \(h = \infty\) (rešpektujeme len vplyv gravitačného poľa), t. j.:

\[ 2gR - v_k^2 = 0 \]

takže začiatočná rýchlosť \(v_k\) musí mať minimálne hodnotu:

\[ v_k = \sqrt{2gR} \] \[ v_k = 11\,186 \, \text{m/s} \]

Teleso vystúpi do výšky \( h = \frac{v_0^2 R}{2gR - v_0^2} \). Aby teleso nespadlo na Zem, muselo by sa pohybovať minimálne druhou kozmickou rýchlosťou, t. j. 11 200 m/s.