Riešené príklady > Kinematika

47. Aká je priemerná rýchlosť pohybu automobilu v prípade, že:

a) prvú polovicu času svojho pohybu sa pohybuje rýchlosťou \( v_{1} = 100\ \text{km}\,\text{h}^{-1} \) a druhú polovicu času sa pohybuje rýchlosťou \( v_{2} = 60\ \text{km}\,\text{h}^{-1} \)

b) polovicu z celkovej svojej dráhy prejde rýchlosťou \( v_{1} = 100\ \text{km}\,\text{h}^{-1} \) a druhú polovicu dráhy rýchlosťou \( v_{2} = 60\ \text{km}\,\text{h}^{-1} \)?

\( v_{1} = 100 \,\text{km·h}^{-1} \),
\( v_{2} = 60 \,\text{km·h}^{-1} \),

a) \( t_{1} = t_{2} = \frac{t}{2} \),

b) \( s_{1} = s_{2} = \frac{s}{2} \),

\( v_{p} = ? \)

a) Automobil prejde dráhu \( s_1 \) rýchlosťou \( v_1 = 100\,\text{km·h}^{-1} \) za polovičný čas \( t_1 \) z celkového času \( t \).
Potom prejde dráhu \( s_2 \) rýchlosťou \( v_2 = 60\,\text{km·h}^{-1} \) za čas \( t_2 = t/2 \).
Celková prejdená dráha je:

$$ s = s_1 + s_2 \tag{1} $$

Z rovnomerného pohybu \( s = vt \):

$$ v_p t = v_1 t_1 + v_2 t_2 \tag{2} $$

$$ v_p t = v_1 \frac{t}{2} + v_2 \frac{t}{2} $$

$$ 2 v_p t = t (v_1 + v_2) $$

$$ 2 v_p = v_1 + v_2 $$

$$ v_p = \frac{v_1 + v_2}{2} \tag{3} $$

Dosadenie:

$$ v_p = \frac{100 + 60}{2}\ \text{km·h}^{-1} $$

$$ v_p = 80\ \text{km·h}^{-1} $$

Priemerná rýchlosť v prípade a):

$$ v_p = 80\ \text{km·h}^{-1} $$

b) Automobil prejde polovicu dráhy \( s/2 \) rýchlosťou \( v_1 = 100\,\text{km·h}^{-1} \) a druhú polovicu dráhy \( s/2 \) rýchlosťou \( v_2 = 60\,\text{km·h}^{-1} \).
Celkový čas:

$$ t = t_1 + t_2 \tag{4} $$

Po dosadení zo vzťahov pre rovnomerný pohyb:

$$ \frac{s}{v_p} = \frac{s_1}{v_1} + \frac{s_2}{v_2} \tag{5} $$

$$ \frac{s}{v_p} = \frac{s}{2v_1} + \frac{s}{2v_2} $$

$$ \frac{s}{v_p} = \frac{s v_2 + s v_1}{2 v_1 v_2} $$

$$ 2 s v_1 v_2 = v_p s (v_1 + v_2) $$

$$ v_p = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2} \tag{6} $$

Dosadenie:

$$ v_p = \frac{2 \cdot 100 \cdot 60}{100 + 60}\ \text{km·h}^{-1} $$

$$ v_p = 75\ \text{km·h}^{-1} $$

Priemerná rýchlosť v prípade b):

$$ v_p = 75\ \text{km·h}^{-1} $$