Riešené príklady > Termodynamika

403. Stroj pracujúci s výkonom \( P = 368\,\mathrm{W} \) vyvŕta za \( 2\,\mathrm{min} \) otvor do liatinového bloku hmotnosti \( m = 20\,\mathrm{kg} \). O koľko stupňov sa blok ohreje, keď \( 80\% \) práce, konanej pri vŕtaní, prispieva k zväčšeniu vnútornej energie bloku? Špecifická tepelná kapacita liatiny \( c = 544{,}2\,\mathrm{J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}} \).

$$ \begin{aligned} t &= 2 \,\text{min} = 120 \,\text{s} \\ P &= 368 \,\text{W} \\ m &= 20 \,\text{kg} \\ c &= 544{,}2 \,\text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1} \\ \eta &= 80\% = 0{,}8 \\ \Delta t &= \, ? \end{aligned} $$

Teplo \( Q \) uvoľnené vŕtaním otvoru do liatinového bloku sa spotrebuje na zväčšenie jeho vnútornej energie \( \Delta U \):

\[ Q = \Delta U \tag{1} \]

Na ohriatie bloku hmotnosti \( m \) o teplotu \( \Delta t \) je potrebné teplo \( Q \):

\[ Q = m c \,\Delta t \tag{2} \]

kde \( c \) je špecifická tepelná kapacita liatiny. Zo zadania vyplýva, že k zvýšeniu teploty bloku o hodnotu \( \Delta t \) prispieva časť práce:

\[ W^{*} = \eta W \tag{3} \]

čo sa prejaví zväčšením jeho vnútornej energie o \( \Delta U \):

\[ \Delta U = W^{*} \tag{4} \]

Porovnaním vzťahov (1), (2), (3) a (4) dostávame:

\[ m c \,\Delta t = Q = \Delta U = W^{*} = \eta W \tag{5} \]

Keď práca \( W \) rastie rovnomerne s časom \( t \), môžeme výkon \( P \) vyjadriť vzťahom:

\[ P = \frac{W}{t} \tag{6} \]

kde \( W \) je práca vykonaná za čas \( t \). Pre prácu teda platí:

\[ W = P t \tag{7} \]

Keď predchádzajúci vzťah dosadíme do rovnice (5), pre zvýšenie teploty \( \Delta t \) bloku dostaneme:

\[ m c \,\Delta t = \eta W = \eta P t \] \[ \Delta t = \frac{\eta P t}{m c} \]

Po dosadení číselných hodnôt určíme, o koľko sa liatinový blok ohreje:

\[ \Delta t = \frac{0{,}8 \cdot 368\,\mathrm{W} \cdot 120\,\mathrm{s}}{20\,\mathrm{kg} \cdot 544{,}2\,\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}} \] \[ \Delta t = 3{,}25\,^{\circ}\mathrm{C} \]

Liatinový blok sa ohreje o \( 3{,}25\,^{\circ}\mathrm{C} \).