Riešené príklady > Plyny

343. Vypočítajte hustotu vodíka pri atmosferickom tlaku \( p = 1{,}01 \cdot 10^5 \,\mathrm{Pa} \) a pri teplote \( t = 0\,^{\circ}\mathrm{C} \), keď viete, že hmotnosť atómu vodíka je \( m_\text{H} = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg} \).

\( p = 1{,}01 \cdot 10^5 \,\mathrm{Pa}, \)

\( t = 0\,^{\circ}\mathrm{C} \;\Rightarrow\; T = 273{,}15 \,\mathrm{K}, \)

\( m = 1{,}67 \cdot 10^{-27} \,\mathrm{kg}, \)

\( R_m = 8{,}316 \,\mathrm{J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}}, \)

\( M_m(\mathrm{H}_2) = 2{,}02 \,\mathrm{kg \cdot kmol^{-1}}, \quad A_r(\mathrm{H}) = 1{,}0080 \,\mathrm{g \cdot mol^{-1}}, \)

\( \rho = \; ? \)

Plyn, ktorý je v rovnovážnom stave, možno charakterizovať týmito stavovými veličinami: termodynamická teplota \(T\), tlak \(p\), objem \(V\) a počet molekúl \(N\) (prípadne hmotnosť plynu \(m\) alebo látkové množstvo \(n\)). Rovnica, ktorá vyjadruje vzťah medzi týmito veličinami, sa nazýva stavová rovnica ideálneho plynu:

\[
pV = NkT \tag{1}
\]

kde \(k\) je Boltzmannova konštanta a má hodnotu \(k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\,\mathrm{J \cdot K^{-1}}\). Použitím vzťahu pre počet častíc \(N\):

\[
N = nN_A = \frac{m}{M_m} N_A \tag{2}
\]

dostaneme:

\[
pV = \frac{m}{M_m} R_m T \tag{3}
\]

pričom \(N_A\) je Avogadrova konštanta \((N_A = 6{,}03 \cdot 10^{26}\,\mathrm{kmol^{-1}})\), ktorá udáva počet molekúl v jednom móle plynu a \(R_m\) je molárna plynová konštanta, ktorá je pre všetky plyny približne rovnaká a má hodnotu \(R_m = 8{,}316 \cdot 10^3 \,\mathrm{J \cdot K^{-1} \cdot kmol^{-1}}\). Pre hustotu vodíka môžeme písať:

\[
\rho = \frac{m}{V} \tag{4}
\]

Vyjadrením hmotnosti \(m\) zo stavovej rovnice ideálneho plynu (3) a dosadením do vzťahu (4) pre hustotu \(\rho\) dostávame:

\[
\rho = \frac{p M_m}{R_m T} \tag{5}
\]

Stačí už len dosadiť zadané hodnoty:

\[
\rho = \frac{1{,}01 \cdot 10^5 \,\mathrm{Pa} \cdot 2{,}02 \,\mathrm{kg \cdot kmol^{-1}}}
{8{,}316 \cdot 10^3 \,\mathrm{J \cdot K^{-1} \cdot kmol^{-1}} \cdot 273{,}15 \,\mathrm{K}}
\]

\[
\rho = 8{,}98 \cdot 10^{-2} \,\mathrm{kg \cdot m^{-3}}
\]

Hustota vodíka \(\rho\) pri tlaku \(1{,}01 \cdot 10^5 \,\mathrm{Pa}\) a pri teplote \(0\,^{\circ}\mathrm{C}\) je \(8{,}98 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{kg \cdot m^{-3}}\).