Riešené príklady > Plyny

Bomba obsahuje pri teplote t₁ = 27 °C a tlaku p₁ = 4 MPa stlačený plyn. Ako sa zmení jeho tlak, keď polovičné množstvo plynu vypustíme a jeho teplota pritom poklesne o 15 °C?

\( t_1 = 27 \, ^\circ\mathrm{C} \;\;\Rightarrow\;\; T_1 = 300{,}15 \,\mathrm{K} \)

\( p_1 = 4 \,\mathrm{MPa} \)

\( t_2 - t_1 = 15 \, ^\circ\mathrm{C}, \quad t_2 = 12 \, ^\circ\mathrm{C} \;\;\Rightarrow\;\; T_2 = 285{,}15 \,\mathrm{K} \)

\( p_2 = \; ? \)

Ak uvažujeme o ideálnom plyne, môžeme vychádzať zo stavovej rovnice ideálneho plynu. Pre ľubovoľne zvolené množstvo plynu hmotnosti \( m \), ktorého mólová hmotnosť je \( M_m \) (obsahuje \( n = \tfrac{m}{M_m} \) mólov), môžeme písať stavovú rovnicu ideálneho plynu:

\[ pV = \frac{m}{M_m} R_m T \tag{1} \]

kde \( p \) je tlak zvoleného množstva plynu, \( T \) je termodynamická teplota:

\[ T = (t + 273{,}15)\,\text{K} \tag{2} \]

a \( R_m \) je molárna plynová konštanta. Reálne plyny spĺňajú uvedenú stavovú rovnicu len približne.

Pre plyn v počiatočnom stave platí:

\[ p_1 V_1 = \frac{m_1}{M_m} R_m T_1 \tag{3} \]

kde \( p_1, V_1, T_1 \) sú počiatočné hodnoty tlaku, objemu a termodynamickej teploty. Po vypustení polovičného množstva plynu ostane v bombe plyn polovičnej hmotnosti:

\[ m_2 = \frac{m_1}{2} \]

Jeho tlak a teplota sa pozmenia na \( p_2 \) a \( T_2 \). Podľa stavovej rovnice platí:

\[ p_2 V_2 = \frac{m_2}{M_m} R_m T_2 \tag{4} \]

Pretože plyn je uzavretý v bombe, ktorej objem sa nemení, ostane objem plynu rovnaký ako v prvom prípade. Môžme teda písať: \( V_1 = V_2 = V \). Ak rovnicu (3) vydelíme rovnicou (4) dostaneme:

\[ \frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 T_1}{m_2 T_2} \]

\[ \frac{p_1}{p_2} = \frac{2 T_1}{T_2} \]

Pre konečný tlak \( p_2 \) platí:

\[ p_2 = \frac{p_1 T_2}{2 T_1} \]

Dosadením zadaných hodnôt dostaneme:

\[ p_2 = \frac{4 \,\text{MPa} \cdot 285{,}15 \,\text{K}}{2 \cdot 300{,}15 \,\text{K}} \]

\[ p_2 = 1{,}9 \,\text{MPa} \]

Počiatočný tlak sa zmení na tlak \( 1{,}9 \,\text{MPa} \).