Riešené príklady > Vlnenie
Rýchlosť pozdĺžných a priečnych vĺn
265. Vypočítajte rýchlosť šírenia pozdĺžnych a priečnych vĺn v oceli s hustotou \( \rho = 7{,}8\,\mathrm{g \cdot cm^{-3}} \), keď modul pružnosti v ťahu ocele \( E = 20 \cdot 10^{10}\,\mathrm{N \cdot m^{-2}} \) a modul pružnosti v šmyku ocele \( G = 8 \cdot 10^{10}\,\mathrm{N \cdot m^{-2}} \).
\( \rho = 7{,}8\,\mathrm{g \cdot cm^{-3}} = 7800\,\mathrm{kg \cdot m^{-3}} \)
\( E = 20 \cdot 10^{10}\,\mathrm{N \cdot m^{-2}} \)
\( G = 8 \cdot 10^{10}\,\mathrm{N \cdot m^{-2}} \)
\( v_1 = \,? \) – rýchlosť šírenia pozdĺžnych vĺn
\( v_2 = \,? \) – rýchlosť šírenia priečnych vĺn
Pre rýchlosť šírenia pozdĺžnych vĺn \( v_1 \) a rýchlosť šírenia priečnych vĺn \( v_2 \) v určitom prostredí platia vzťahy:
\[
v_1 = \sqrt{\frac{E}{\rho}} \tag{1}
\]
\[
v_2 = \sqrt{\frac{G}{\rho}} \tag{2}
\]
kde \( E \) je modul pružnosti v ťahu, \( G \) je modul pružnosti v šmyku a \( \rho \) je hustota príslušného prostredia. Dosadením zadaných hodnôt do predošlých vzťahov dostaneme:
\[
v_1 = \sqrt{\frac{E}{\rho}} = \sqrt{\frac{20 \cdot 10^{10}\,\mathrm{N \cdot m^{-2}}}{7800\,\mathrm{kg \cdot m^{-3}}}} = 5063{,}70\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}
\]
\[
v_2 = \sqrt{\frac{G}{\rho}} = \sqrt{\frac{8 \cdot 10^{10}\,\mathrm{N \cdot m^{-2}}}{7800\,\mathrm{kg \cdot m^{-3}}}} = 3202{,}56\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}
\]
V oceli danej hustoty je rýchlosť šírenia pozdĺžnych vĺn \( v_1 = 5063{,}70\,\mathrm{m \cdot s^{-1}} \) a rýchlosť šírenia priečnych vĺn \( v_2 = 3202{,}56\,\mathrm{m \cdot s^{-1}} \).