Druhá kozmická rýchlosť – Fyzika v príkladoch

Na vyriešenie tohto príkladu použijeme zákon o zachovaní mechanickej energie. Celková energia telesa v mieste vrhu je daná kinetickou energiou telesa. V maximálnej výške $h$ , ktorú teleso dosiahne, je zase celková energia daná potenciálnou energiou telesa. Ak uvažujeme potenciálnu energiu telesa vzhľadom na zemský povrch, môžeme písať:

$\begin{matrix} (1) & E_{k} = E_{p} \end{matrix}$ $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = - k m M (\frac{1}{R + h} - \frac{1}{R})$ $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = - k m M \cdot (\frac{- h}{(R + h) R})$

kde $m$ je hmotnosť telesa, $v_{0}$ je rýchlosť telesa, $M$ je hmotnosť Zeme, $R$ je polomer Zeme, $h$ je výška, do ktorej teleso vystúpi, a $k$ je gravitačná konštanta.

Keďže s istou presnosťou môžeme písať:

$\begin{matrix} (2) & g = \frac{k M}{R^{2}} \end{matrix}$

potom využitím tohto vzťahu dostaneme:

$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{m g R h}{R + h}$

Odtiaľ pre hľadané $h$ vyplýva:

$h = \frac{v_{0}^{2} R}{2 g R - v_{0}^{2}}$

Aby sa teleso nevrátilo späť na Zem, muselo by pri počiatočnej rýchlosti $v_{k}$ dosiahnuť nekonečnú výšku $h = \infty$ (rešpektujeme len vplyv gravitačného poľa), t. j.:

$2 g R - v_{k}^{2} = 0$

takže začiatočná rýchlosť $v_{k}$ musí mať minimálne hodnotu:

$v_{k} = \sqrt{2 g R}$ $v_{k} = 11 186 m/s$

Teleso vystúpi do výšky $h = \frac{v_{0}^{2} R}{2 g R - v_{0}^{2}}$ . Aby teleso nespadlo na Zem, muselo by sa pohybovať minimálne druhou kozmickou rýchlosťou, t. j. 11 200 m/s.