Riešené príklady > Dynamika

109. Oceľová špirála dĺžky \(l_0 = 80 \, \text{cm}\) sa predĺži silou \(F_1 = 20 \, \text{N}\) o dĺžku \(x_1 = 5 \, \text{cm}\). Aká práca sa vykoná po predĺžení špirály na dvojnásobok jej pôvodnej dĺžky, keď sila konajúca prácu je úmerná predĺženiu špirály?

\(l_0 = 80 \, \text{cm}\)
\(F_1 = 20 \, \text{N}\)
\(x_1 = 5 \, \text{cm}\)
\(A = \, ?\)

Potenciálna energia hmotného bodu (špirály) pri výchylke \(x\) z rovnovážnej polohy má vzhľadom na rovnovážnu polohu hodnotu:

\[ W_p = A = \int_{x}^{0} \vec{F} \cdot d\vec{x} = \int_{x}^{0} -kx \quad dx = \frac{1}{2} kx^2 \tag{1} \]

pričom predpokladáme, že sila \(F\), ktorou špirála pôsobí na hmotný bod, je daná vzťahom:

\[ F = -kx \tag{2} \]

Znamienko \(-\) ukazuje, že výchylka z rovnovážnej polohy \(x\) má stále opačný smer ako pôsobiaca sila \(F\). Vieme, že ak na špirálu pôsobí sila \(F_1\), predĺži sa o dĺžku \(x_1\). Pre jej veľkosť platí:

\[ \left| F_1 \right| = k x_1 \tag{3} \]

Odtiaľ pre tuhosť pružiny \(k\) dostaneme:

\[ k = \frac{F_1}{x_1} \tag{4} \] \[ k = \frac{20 \, \text{N}}{0{,}05 \, \text{m}} \] \[ k = 400 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1} \]

Po vypočítaní \(k\) a dosadení do vzťahu (1) dostaneme hodnotu práce \(A\), ktorá je potrebná pre predĺženie pružiny na dvojnásobok jej pôvodnej dĺžky:

\[ A = \int_{0}^{l_0} kx \quad dx = k \int_{0}^{l_0} x \quad dx = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{l_0} = k\frac{l_0^2}{2} \] \[ A = \frac{400 \, \text{N} \cdot \text{m}^{-1} \cdot (0{,}8 \, \text{m})^2}{2} \] \[ A = 128 \, \text{J} \]

Na predĺženie špirály o dvojnásobok jej pôvodnej dĺžky je potrebné vykonať prácu o veľkosti \(128 \, \text{J}\).