Riešené príklady > Dynamika

106. Motor auta celkovej hmotnosti \(960 \, \text{kg}\) má ťažnú silu \(1600 \, \text{N}\). Za koľko sekúnd môže auto dosiahnuť rýchlosť \(v = 54 \, \text{km/h}\)?

\(m = 960 \, \text{kg}\)
\(F = 1600 \, \text{N}\)
\(v = 54 \, \text{km/h} = 15 \, \text{m/s}\)
\(t = \, ?\)

Keďže poznáme hmotnosť \(m\), ťažnú silu motora \(F\) a rýchlosť auta \(v\), pre výpočet času \(t\), za ktorý auto dosiahlo rýchlosť \(v = 54 \, \text{km/h}\), môžeme použiť II. Newtonov pohybový zákon (Zákon sily), ktorý hovorí: Sila pôsobiaca na hmotný bod sa rovná časovej zmene hybnosti hmotného bodu, ktorú vyvolala. Matematicky tento zákon vyjadruje rovnica:

\[ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\mathbf{v}) \tag{1} \]

V prípade, že \(m = \text{konšt.}\), čiže nezávisí od času (čo v klasickej fyzike platí), možno predchádzajúcu rovnicu upraviť na tvar:

\[ \mathbf{F} = \frac{d}{dt}(m\mathbf{v}) = m \frac{d\mathbf{v}}{dt} \tag{2} \]

Na výpočet času \(t\) z predchádzajúceho vzťahu použijeme tzv. metódu separácie premenných – infinitezimálne zmeny času a rýchlosti oddelíme na pravú a ľavú stranu rovnice a potom celú rovnicu zintegrujeme, pravú stranu podľa času a ľavú podľa rýchlosti:

\[ \mathbf{F} = m \frac{d\mathbf{v}}{dt} \] \[ F \, dt = m \, d\mathbf{v} \] \[ \int F \, dt = \int m \, d\mathbf{v} \] \[ F \int_{0}^{t} dt = m \int_{v_0}^{v} d\mathbf{v} \] \[ F \left[ t \right]_0^t = m \left[ \mathbf{v} \right]_{v_0}^v \] \[ F(t - 0) = m(v - v_0) \] \[ F t = m (v - v_0) \] \[ t = \frac{m (v - v_0)}{F} \]

Keďže v zadaní nie je určená začiatočná rýchlosť \(v_0\), predpokladáme, že sa auto rozbieha z pokoja, t.j. začiatočnou rýchlosťou \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\). Po dosadení zadaných hodnôt dostávame:

\[ t = \frac{960 \, \text{kg} \cdot (15 \, \text{m/s} - 0 \, \text{m/s})}{1600 \, \text{N}} \] \[ t = 9 \, \text{s} \]

Rýchlosť \(v = 54 \, \text{km/h}\) môže auto dosiahnuť za čas \(9\) sekúnd.