Riešené príklady > Kinematika

33. Pozorovateľ stojaci v okamihu rozbehu vlaku pri jeho začiatku zaznamenal, že prvý vagón prešiel popri ňom za čas \(t_1 = 4 \, \text{s}\). Ako dlho bude popri ňom prechádzať \(n\)-tý vagón (napr. \(n = 7\)), keď sú všetky vagóny rovnako dlhé? Považujte pohyb vlaku za priamočiary, rovnomerne zrýchlený.

\(t_1 = 4 \, \text{s}\),
\(t_n = ?\)

Pre veľkosť dráhy rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu vlaku platí:

\[ s = v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \tag{1} \]

Keďže sa vlak pohyboval z pokoja (\(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)) a prvý vagón prešiel popri pozorovateľovi za čas \(t_1\), dĺžka jedného vagóna \(s\) je:

\[ s = \frac{1}{2} a t_1^2 \tag{2} \]

Za čas \(t_n\) prejde \(n\) vagónov vlaku dráhu:

\[ ns = \frac{1}{2} a t_n^2 \tag{3} \]

A za čas \(t_{n-1}\) prejde \(n - 1\) vagónov dráhu:

\[ (n - 1)s = \frac{1}{2} a t_{n-1}^2 \tag{4} \]

N–tý vozeň bude popri pozorovateľovi prechádzať počas doby:

\[ \hat{t} = t_n - t_{n-1} \tag{5} \]

Dosadením vzťahu (2) do rovnice (3) vyjadríme čas \(t_n\) prechodu \(n\) vagónov:

\[ sn \cdot \frac{1}{2} a t_1^2 n = \frac{1}{2} a t_n^2 \tag{6} \] \[ t_n = t_1 \sqrt{n} \tag{7} \]

Analogickým spôsobom dosadením rovnice (2) do vzťahu (4) vyjadríme čas \(t_{n-1}\) prechodu \(n - 1\) vagónov:

\[ s(n - 1) = \frac{1}{2} a t_1^2 (n-1) = \frac{1}{2} a t_{n-1}^2 \tag{8} \] \[ t_{n-1} = t_1 \sqrt{n - 1} \tag{9} \]

Po dosadení nájdených vzťahov pre \(t_n\) (7) a \(t_{n-1}\) (9) do vzťahu (5) dostaneme dobu prechodu \(n\)-tého vagóna vlaku popri pozorovateľovi:

\[ t^* = t_1 (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}) \tag{10} \]

Dosadením zadanej hodnoty \(n = 7\) a \(t_1 = 4 \, \text{s}\) vypočítame dobu prechodu siedmeho vagóna:

\[ t_7 = 4s \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{7-1}) \approx 0{,}8 \, \text{s} \]

Siedmy vagón bude popri pozorovateľovi prechádzať približne 0,8 sekundy.