Riešené príklady > Kinematika

9. Cyklista sa pohybuje smerom do kopca rýchlosťou \( v_1 = 10 \,\text{km·h}^{-1} \). Keď dosiahne vrchol kopca, obráti sa a absolvuje tú istú trasu z kopca dolu rýchlosťou \( v_2 = 40 \,\text{km·h}^{-1} \).
Aká bola priemerná rýchlosť cyklistu?

\( v_1 = 10 \,\text{km·h}^{-1} \)

\( v_2 = 40 \,\text{km·h}^{-1} \)

\( v_p = ? \)

ohyb do kopca a z kopca môžme považovať za rovnomerný priamočiary. Vzdialenosť medzi zemou a vrcholom kopca si označme \( d \). Pri pohybe do kopca prejde cyklista dráhu:

\[ d = v_1 . t_1 \tag{1} \]

Pri pohybe z kopca prejde tú istú dráhu za čas \( t_2 \) rýchlosťou \( v_2 \), čiže:

\[ d = v_2 . t_2 \tag{2} \]

kde \( t_1 \) je čas výstupu a \( t_2 \) čas zostupu. Priemerná rýchlosť \( v_p \) je definovaná ako celková prejdená dráha \( s \) za celkový čas \( t \). Môžme písať:

\[ v_p = \frac{s}{t} \tag{3} \]

Platí, že cyklista prejde celkovú dráhu:

\[ s = 2d \tag{4} \]

za čas

\[ t = t_1 + t_2 \tag{5} \]

Po dosadení do vzťahu (3) za priemernú rýchlosť \( v_p \) dostaneme:

\[ v_p = \frac{s}{t}  \]

\[ v_p = \frac{2d}{t_1 + t_2}  \]

\[ t_1 = \frac{d}{v_1}  \]

\[ t_2 = \frac{d}{v_2}  \]

\[ v_p = \frac{2d}{\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}}  \]

\[ v_p = \frac{2d}{d \left(\frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}\right)}  \]

\[ v_p = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}  \]

Dosadením zadaných hodnôt dostávame:

\[ v_p = 2 \cdot \left( \frac{400}{50} \right) \text{ km.h}^{-1} = 16 \text{ km.h}^{-1}  \]

Cyklista sa pohybuje priemernou rýchlosťou 16 km.h^-1.