Zvislý vrh telies

6. Teleso bolo vrhnuté zo zemského povrchu zvisle nahor rýchlosťou v0 = 4,9 m.s-1. Súčasne z maximálnej výšky, ktorú toto teleso dosiahne, je vrhnuté zvisle nadol druhé teleso tou istou začiatočnou rýchlosťou v0.Treba určiť čas t*, v ktorom sa obidve telesá stretnú, vzdialenosť h od zemského povrchu, v ktorej sa stretnú a rýchlosti obidvoch telies v1* a v2* v okamihu stretnutia. Odpor vzduchu zanedbajte!

Image

v0 = 4,9 m.s-1

t* = ?, h = ?, 

v1* = ?, v2* = ?

   
  

Prvé teleso vrhnuté zvisle nahor sa pohybuje rovnomerne spomaleným pohybom. Pre jeho dráhu s1 a rýchlosť v1 platia vzťahy:

 
   

s= v0t – 1/2 gt2  ,

(1)

 
   

v1 = v0 – gt  ,

(2)

 
  

kde s1 je prejdená dráha v čase t, v0 je počiatočná rýchlosť, v1 rýchlosť telesa v čase t a g je tiažové zrýchlenie. Maximálnu výšku dosiahne prvé teleso v čase tm , v ktorom jeho rýchlosť v1 = 0 m.s-1, takže zo vzťahu (2) vyplýva:

 
   

tm = v0 / g  .

  
  

Zo vzťahu (1) dostaneme, že v čase tm prejde prvé teleso dráhu:

 
  

hmax = v0 (v0 / g) - 1/2 g (v0 / g)2  ,

hmax = 1/2 v02 / g  .

 
    
   

s2 = v0t + 1/2 gt2  ,

(3)

 
  

 

 v2 = v0 + gt   ,

(4)

 
  

kde s2 je prejdená dráha v čase t, v1 rýchlosť druhého telesa v čase t. V okamihu stretnutia oboch telies bude platiť:

 
   

s1 + s2 = hmax  ,

(5)

 
  

čiže:

 
  

v0t* - 1/2 gt*2 + v0t* + 1/2 gt*2 = v02 / 2g  ,

 
  

kde t* je čas, v ktorom sa telesá stretnú. Riešením predchádzajúcej rovnice dostaneme:

 
  

2v0t* = v02 / 2g

t* = v0 / 4g 

t* = 4,9 m.s-1 / (4 . 9,81 m.s-2)

t* = 0,125 s  .

 
  

Pre vzdialenosť h od zemského povrchu, v ktorej sa telesá stretnú platí:

 
  

h = v0 (v0 / 4g) - 1/2 g (v0 / 4g)2

h = 7v02 / 32g

h = 7 . 4,92 m2.s-2 / (32 . 9,81 m.s-2)

h = 0,535 m  .

 
  Pre rýchlosti v1*v2* v čase stretnutia t* dosadením do príslušných vzťahov dostaneme: 
  

v1* = v0 - v0 / 4 = 3v0 / 4

v1* = 3,675 m.s-1

v2* = v0 + v0 / 4 = 5v0 / 4

v2* = 6,125 m.s-1  .

 
    
  

Obidve telesá sa stretnú za 0,125 s vo vzdialenosti 0,535 metra od zemského povrchu. V okamihu stretnutia budú mať telesá rýchlosti v1* = 3,675 m.s-1 a v2* = 6,125 m.s-1 .